Page 39 - 《民中人》2025年第1期

深度观察

3 1 1 1
x = vt H − H = gt 2 相遇时有 gt + 2 a t = y 2 H
蛙 m 蛙 4 2 蛙 2 2

联立解得， = v = 4 gH 解得 t = 3H
蛙 2 m 3 2g
试题的第 (2) 问，从物理思维的角度出发， 1 1 26−
则最小的坐标为 x min = at − x 2 v t = m H
先分析虫子出发坐标的极小值，虫子从某一坐 2 3
若蛙和虫不同时刻出发，轨迹相切时，青蛙
标出发后假设能被青蛙抓住，如图 (1) 中的 P 点，
1
2
则青蛙一定存在一个更大的速度和更晚的出发 的平抛运动有 y = H − 1 gt ，
2 x = vt
m
的时间，使得青蛙在图 (1) 中 P 点抓住虫子，最 y
2
后可以得到青蛙必然可以以最大的速度向左跳
出，在图 (1) 中 P 点抓住虫子，此时一定满足青
3
蛙跳出运动的时间比虫子小，若虫子出发的位
置向左移动，青蛙仍以最大速度飞出，假设能
在图 (1) 中 P 点抓住虫子，相对于图 (1) 中 P 点
4
3
而言，虫子运动的时间在减小，青蛙运动的时
间在增大，但蛙跳出时刻不早于虫飞出时刻， g

故存在图 (1) 中 P 点，青蛙和虫子运动的时间相 可得轨迹方程为 y = H − 2v 2 x 2
5
等，且青蛙向左跳出的速度最大，进而确定虫 虫的轨迹方程为 y = (x − m x ) tan37°
子出发坐标的最小值 x 。同理可以得出右边有 max g
min
两轨迹相交，可得 (x max − x ) tan37° = H − 2 x 2
对应的情景，虫子和青蛙相遇在图 (1) 中 P 点， 2v m
6
通过作图或数学关系可知，此线为青蛙轨迹抛 g 2 3 3
整理可知 2 x − x + x − m H = 0
物线的割线，因此虫子的最大坐标可以右移， 2v m 4 4
9 g 3
对应青蛙运动的时间减少同时虫子的时间增大， 令 ∆ = ，即 16 − 4× 2v 2 ⋅ ( x − H )0=
0
m
4
故当虫子的轨迹线与抛物线相切于图 (1) 中 P 7 解得 x = 2H m
时，对应是虫子出发的最大坐标 xmax。 max
虫在 x 轴上飞出的位置范围为
1 26− H ≤≤ 2H
x
3
此问如果仅仅从数学的角度思考，可以更简
单地构建出青蛙与虫子各自运动的轨迹方程，

具体展示如下 :
设青蛙在坐标 (x,y) 位置捉到飞虫，则 (x,y)
图 (1)：青蛙和虫子运动的可能轨迹线 g
2
故物理方程可以直接构建临界条件即可得到 在曲线 y = 2 x + H 与 x 轴包络的范围内。
答案。具体解答如下： 2v m
（2）若蛙和虫同时开始运动，时间均为，
1
y
则虫的水平分加速度和竖直分加速度分别为 H −= gt 2
对青蛙有： 2 1 其中 v ≤ v
5 4 5 1 0 m
a = 9 g cos37° = 9 g ， a = 9 g sin37° = 3 g x = v t
x
y
01
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